信息论

01 · 互信息与相对熵

互信息与模型失配的编码代价

熵衡量单个信源的不确定性。互信息则衡量两个变量之间的统计依赖：知道 X 后，对 Y 的不确定性减少了多少。雷声透露了闪电的信息；检测结果透露了疾病的信息；第 4 日开启的那扇羊门透露了跑车的信息。捕获这种统计依赖的量，就是互信息 (mutual information)。

先从两个更简单的部分开始。联合熵 (joint entropy) $H(X,Y)$ 是这一对变量的总不确定性。条件熵 (conditional entropy) $H(Y\mid X)$ 是在已知 X 时 Y 遗留的不确定性——即存留的惊奇度。互信息就是它们之间的差值：已知 X 后，对 Y 的不确定性缩减了多少。

对于两个变量，用两个不确定性圆圈的重叠来理解很直观。但这个图像有边界：三个或更多变量的信息图中会出现带符号的交互区域。互信息衡量统计依赖，而不是因果关系。因果图（第 5 日）编码的是结构假设和条件独立性；两个变量共享信息，可能是因为一个导致另一个，也可能是因为共同原因或选择偏差。在贝叶斯实验设计（第 2 日）中，关于假设的期望信息增益是一种有用目标，并可写作互信息。一次已经发生的观测则通过似然比、贝叶斯因子、对数评分或后验更新成为证据。

互信息衡量统计依赖。信道容量是在指定信道模型和约束下输入与输出之间可达到的最大互信息率。因果和实际证据还需要互信息之外的额外结构。

相对熵：模型失配的代价

熵有一个关系密切的「亲戚」，也是科学中极有用的量。它回答的问题很尖锐：相信一个错误模型，会多消耗多少比特？假设现实从分布 $p$ 中产生结果，而你把世界建模为 $q$。你每次都按 $q$ 来估计惊奇度，为此预留 $-{\log }_{2}q$ 比特；但真实结果服从 $p$。由此增加的平均码长，就是相对熵 (relative entropy)，或称KL 散度 (Kullback–Leibler divergence)：

这个不等式贯穿本课程的许多地方。它量化的是错误先验或错误模型带来的额外开销，因此会自然出现在贝叶斯更新（第 1 日、第 4 日）里。KL 是散度而不是距离：它不对称，也不满足三角不等式。交叉熵与它相关但并非同义：$H(p,q)=H(p)+D_{\mathrm{KL}}(p\Vert q)$，因此只有当真实分布 p 固定时，最小化交叉熵才等价于最小化 KL。语言模型训练可以理想化为最小化期望交叉熵的经验估计；这不是说模型真的拿到了 $D(\text{reality}\Vert \text{model})$ 这个对象。弗里斯顿的变分自由能也更微妙：它是生成模型下惊奇度的上界，并包含近似后验与模型后验之间的 KL 项。互信息本身可写为联合分布 P(X,Y) 与乘积分布 P(X)P(Y) 之间的 KL 散度。

02 · 压缩与冗余

消除冗余

熵不仅是一个抽象概念，更是一个可以渐近逼近的底线。香农的无失真信源编码定理 (source coding theorem)——与有噪信道定理并立、却相对低调的另一条基石——指出，对指定信源产生的长区块进行编码时，平均速率可以任意逼近 H 比特/符号；若不丢失信息，也不利用模型之外的额外结构，就不能低于 H。熵是相对于该模型不可再压缩的核心：去掉可预测部分之后仍然必须保留的信息。超出这一底限的所有部分都是冗余 (redundancy)，而冗余正是压缩技术试图消除的部分。

普通文本中有多少冗余？非常之多。如果使用 27 个符号（26 个字母加一个空格），一个完全随机的字符流每字母会携带 ${\log }_{2}27\approx 4.7$ 比特的信息。但英语是非常可预测的——q 后面常常跟着 u，th 和 he 反复出现，元音也受到上下文约束。在 1951 年一个著名的实验中，香农让人们猜测隐藏文本的下一个字母，并测量他们猜对的概率，最终得出英语的熵大约为每字母 1 比特（他的估值范围约为 0.6 到 1.3 比特）。这个启示是惊人的：英语有大约四分之三的冗余。Yu cn prbbly rd ths sntnc wth th vwls rmvd（你大概仍能读懂这句去掉元音的话）——因为上下文已经提供了恢复元音所需的大量信息。填字游戏、自动联想输入，以及在嘈杂的派对中听清别人说话的能力，全部依赖于这一冗余盈余。

上述所有都是无损压缩：解压后你能找回每一个比特。但人的眼睛和耳朵并不苛刻，而这种不苛刻本身就能换来巨大的压缩空间。率失真理论 (rate–distortion theory)（香农，1959 年）提出了一个更难的问题：如果允许丢失一点点信息，在给定的可接受失真水平下，你最少可以花费多少比特？这是有损压缩的主导数学原理——JPEG 丢弃了你的视网膜无法分辨的细微色彩细节，MP3 舍弃了已被较响亮声音掩盖的微弱音调。这门艺术的关键在于，只在人类能察觉的地方花费比特，而让其余的部分蒸发。在线流媒体、视频通话以及现代互联网的整个视觉质感——全都是率失真理论的产物。

03 · 算法复杂度

柯尔莫哥洛夫复杂度：信息与计算的联系

香农熵是信源（一个概率分布）的属性。但这里有一个它无法触及的谜题。考虑两个长度为一百万位的数字字符串：一个是投掷硬币产生的一百万个随机比特，另一个是 $\pi$ 的前一百万位数字。在香农看来，如果它们是从「均匀分布的数字信源」中抽样出来的，它们看起来承载着同样密度的信息。然而，$\pi$ 可以由一段相对很短的程序重新生成，而典型随机字符串几乎无法压缩。那个看似随机的字符串具有更高的描述复杂度。

那个特征正是它的柯尔莫哥洛夫复杂度 (Kolmogorov complexity)（由索洛莫诺夫、柯尔莫哥洛夫与蔡廷在 20 世纪 60 年代独立提出）：输出该字符串的最短计算机程序的长度。它是面对计算本身而非概率模型的压缩极限，并且只在一个由所选通用机决定的加法常数以内与具体机器无关。$\pi$ 是极可压缩的（短程序，无限输出）；而典型的长随机字符串在精确计数意义上不可压缩——大多数字符串并没有比自身短多少的描述。这成为算法随机性的一种定义。

而在此处，该学科露出了它锋利而美丽的一面。柯尔莫哥洛夫复杂度是可证明不可计算的 已证实。不存在任何算法能在给定任意字符串后，返回其最短程序的长度——这一结论与第 27–28 日等待着我们的哥德尔和图灵极限，以及蔡廷的怪异常数 Ω 产生了共鸣。合适的一致形式系统可以确定 Ω 的某些有限事实，但不能确定任意多位数字。我们明天将在复杂性主题下再次遇到相关思想，但要带着一个重要警告：高描述复杂度本身并不等于有意义或有组织的复杂性。典型随机字符串同样会最大化它。

04 · 纠错编码

信息如何在噪声信道中可靠传输

主线页面曾承诺过，在指定信道容量之下，足够长的编码可以渐近实现错误率趋零——只要你能找到那组编码。这场寻宝之旅值得专门讲述，而它始于一个周五晚上在贝尔实验室里备受挫折的男人。

1947 年，理查德·汉明 (Richard Hamming) 在周末可以使用一台继电器计算机，但它总是让他失望：每当它检测到输入中存在错误时，就会直接停机，静静等待周一才来上班的人类操作员。「如果机器能检测到错误，」汉明愤怒地质问，「为什么它不能定位并纠正它呢？」汉明码 (Hamming code)（发表于 1950 年）便诞生自这股怒火中，它是第一个真正的纠错码，并带来了一种从几何角度审视整个领域的全新方式。

其核心思想是汉明距离 (Hamming distance)：分隔两个码字所需的比特翻转次数。如果你的有效消息只有 000 和 111，它们在空间中的距离为 3。单比特错误会把 000 变成诸如 010 的字符串——但 010 仍然比 111 更接近 000，因此接收端可以通过多数表决来静默纠正它。在比特字符串构成的几何空间中，只要让有效码字彼此保持足够距离，就能为每个码字划定可纠正错误的范围。冗余在这里获得了清晰的几何解释。

从深空通信到日常设备

汉明的几何学扩展成为了一项你时时刻刻依赖却浑然不觉的工程奇迹。里德-所罗门码 (Reed–Solomon codes)（1960 年）将数据视为多项式上的点，并且能够修复整段的突发损毁——这正是划伤的 CD 仍然可以播放、撕裂的二维码仍然可以扫描，以及旅行者号探测器能够在使用比冰箱灯泡还要微弱的发射机的情况下，横跨数十亿公里将外行星的图像低声传回地球的原因。深空任务将编码进行层层嵌套（级联），以从几近纯粹的噪声中剥离出它们的信号。

数十年来，香农理论给出的性能上限与工程师能够实现的性能之间一直存在明显差距。Turbo 码通过两个迭代译码器反复交换软信息，使性能逼近信道容量，差距仅为零点几分贝，从而改变了该领域。低密度奇偶校验码 (LDPC)——由罗伯特·加拉格尔于 1960 年发明，因在当时对硬件计算要求过于苛刻而尘封了三十年，直到 20 世纪 90 年代末被重新发现——如今正用于 Wi-Fi、5G 数据信道和存储设备。而在 2009 年，埃尔达尔·阿里坎发明的极化码 (polar codes) 成为了第一个明确构造、并被证明可渐近达到二元输入无记忆信道对称容量且具有高效编解码的码族。已确立。2016 年，全球 5G 标准将极化码用于控制相关信道，而 LDPC 承担了大量数据信道编码。香农提出信道容量理论 68 年后，工程技术终于实现了接近这一极限的编码方案。

05 · 信息论的先驱

信息论发展的关键人物

香农并非凭空降临。两位贝尔实验室的前辈曾围绕这一思想做过探索。哈里·奈奎斯特 (Harry Nyquist)（1924 年）推算出了电报线传输信号的速度极限；拉尔夫·哈特利 (Ralph Hartley)（1928 年）在其实际名为《信息传输》的论文中，提出将信息量度量为可能消息数的对数——这正是比特的萌芽，唯独缺少了香农引入概率并抛弃意义的关键一步。香农也承认这条来路：在一些记法中，信息的度量单位至今仍叫「哈特利」。

香农本人也极值得写上一段。克劳德·香农曾在贝尔实验室的走廊里骑着独轮车，同时进行抛球杂耍。他建造了一只名叫忒修斯 (Theseus)（1950 年）的机械小鼠，这只小鼠能自己学会走出迷宫——这是最早呈现在他办公桌上的机器学习演示之一。他在马文·明斯基的建议下建造了「终极机器」：一个带有一个开关的盒子，当拨动开关时，盒子会打开，伸出一只机械手，把自己的开关拨回关闭状态，然后缩回。他与数学家爱德华·索普 (Ed Thorp) 合作建造了通常被称为首个可穿戴计算机的设备——一个香烟盒大小的装置，用于在轮盘赌中赢钱，并于 1961 年秘密带入拉斯维加斯。他让来访客人猜测句子里的下一个字母，并不只是助兴游戏，而是在现场感受英语的可预测性。这个把工程学中最抽象的信息概念变成精确定理的人，私下却几乎停不下来地热爱动手做东西。也正合适：他理论最后的点睛之笔——信息是物理的——就等在他出发的道路尽头。

06 · 量子信息

量子比特及其性质

到目前为止，所有内容都假设比特是确定的 0 或 1。量子力学提供了一种更丰富的载体——量子比特 (qubit)，而建立在其上的信息论是如此不同，以至于值得专门为其留出一个单元（第 47 日）。此处只介绍足以让你感受到其奇妙的知识。

一个量子比特可以处于 0 和 1 的叠加态，对应整个布洛赫球面上的一点，而非只限于两极。你可能会因此认为它携带了无限量的信息。但它没有——其原因正是该学科中最深奥的事实之一。霍莱沃界 (Holevo’s bound)（1973 年）限制的是从量子系综中可提取的经典信息；在普通的无辅助通信设定下，一个传输的量子比特不能传递任意多的经典信息。若事先共享纠缠，超密编码等协议会改变可用资源的清单。量子测量也可以有两个以上结果，所以「是/否坍缩」只是简化说法。布洛赫球上的连续状态是真实的，但不能被一次性完整读成普通经典信息。

还有两个前瞻性的亮点。不可克隆定理 (no-cloning theorem)（Wootters 与 Zurek; Dieks, 1982 年） 已确立 指出，一个未知的量子态无法被复制——并不存在量子复印机——它有助于解释为什么窃听会扰动量子密码协议，但安全性还需要完整的协议证明，而不只是不可克隆定理。香农熵的量子对应物——冯·诺伊曼熵 $S=-\mathrm{Tr}(\rho \log \rho )$——用于度量量子态中的不确定性，并且对于纯的二分系统等于纠缠熵；混合态纠缠则需要其他度量。到了量子世界，比特只是故事的第一章。

07 · 可逆计算

可逆计算：减少不必要的擦除

主线页面给出了兰道尔的标准结论：在等温循环中重置一个初始未知的公平比特至少需要 $k_{B}T\ln 2$，因为该操作将两种可能的过去压缩为一个。根本限制只出现在逻辑不可逆的步骤上——即那些无法从输出唯一恢复输入的步骤。如果计算过程尽量避免这类擦除，会发生什么？

这就是可逆计算 (reversible computing)，而且它在理论上是完全成立的 原则上已确立。查尔斯·贝内特 (Charles Bennett) 于 1973 年证明，任何计算都可以被重构为一系列绝不毁灭信息的可逆步骤——你保留必要的中间结果而不覆写，运行计算，复制答案，再将整个过程反向运行以干净地「撤销计算」那些垃圾信息，让每个比特都在净擦除为零的情况下回到它的起点。专门的可逆逻辑门让这一思想变得具体：托佛利门 (Toffoli gate)（一个受控-受控-非门）与弗雷德金门 (Fredkin gate)（一个受控交换门）是通用的——你可以用它们构建任意电路。这些门的输入与输出一一对应，因此可以从输出唯一恢复输入，不会在逻辑上丢失信息。

因此，在原则上，可逆计算可以在信息被有意丢弃之前避开根本的擦除下限。物理实现可以通过更温和、更接近准静态的协议降低耗散，但速度—能量权衡取决于具体器件模型；逻辑可逆本身并不意味着计算机必须以趋近于零的速度运行。可逆算法也涉及时间—空间权衡，而不是简单地永远储存无限历史。目前尚未有人建造出通用的实用可逆计算机；它与其说是一种产品，不如说是一个精妙的设想。但这关乎到该领域突然再次引人瞩目的原因：随着传统芯片逼近物理极限，避免擦除开始具有工程意义，而不只是一个理论上的奇招。这条线索一直延伸到第 47 日：理想闭合系统中的量子门是幺正且可逆的，而初始化、测量、纠错、控制和重置都要单独分析其热力学影响。

08 · 计算的物理上限

计算能力的物理极限

兰道尔原理限制了遗忘的能量。但还有其他阻碍——在速度上、在密度上，以及一块物质所能进行的计算总量的极限上——而追溯它们会将你引向真正令人目眩神迷的方向。2000 年，麻省理工学院的塞斯·劳埃德 (Seth Lloyd) 估算了一台「终极笔记本」：一公斤物质、一升体积，并以物理定律所允许的最高效率被组织起来（《自然》，2000 年 8 月 31 日）。这些是依赖模型的上界估计，不是可制造设备的规格。

速度的上限源自量子力学本身。马戈勒斯-列维京定理 (Margolus–Levitin theorem)（1998 年）用高于基态的能量来约束系统穿过可区分状态的速度，而「操作」的精确定义也取决于具体计数约定。将一公斤静止质量的全部能量（$E=m{c}^2$，约为 $10^{17}$ 焦耳）注入劳埃德的理想化计算，你将得到一个约为每秒 $10^{51}$ 次操作的物理天花板。而内存的上限则来自对该系统所能占据的状态数的统计：约为 $10^{31}$ 比特。这些数字并非工程制造的目标；它们由基本常数 $c$、$\hslash$ 和 $k_B$ 决定。劳埃德也指出了显而易见的障碍：在这一极限下运行的设备会把一公斤物质变成约十亿度的等离子体；他说，这会是一个「封装上的难题」。

把这套物理上限推到宇宙尺度，你可以发问：自大爆炸以来，整个宇宙已经计算了多少？劳埃德 2002 年的估计约为：在 $10^{90}$ 个普通物质比特上进行了 $10^{120}$ 次基本操作；如果计入引力自由度，可容纳的信息量还会高得多。这固然是一个极其巨大的数字，但是有限的。现实本身所执行的计算量存在一个硬性的、可数的上限。至于这是否意味着宇宙就是一台字面意义上的计算机，仍是一种富有争议的解读 存在争议——仅为解释，而非结论，与主线页面标记过的「万物源于比特」式过度解读一脉相承。数值界限来自物理；形而上学则是自选的。

09 · 跨学科应用

信息单位在不同学科中的应用

香农思想的隐秘力量在于，信息一旦化为一个数字，它便不再专属电信通信领域，而开始出现在处理不确定性、多样性或惊奇度的每一个学科之中。以下是对该线索延伸范围的快速巡览，每一项都是通往后文课题的入口：

• 在生态学中，香农多样性指数 (Shannon diversity index)——同样是那个 H = −Σ p log p——用于衡量生物多样性：热带雨林具有极高的熵（物种繁多且分布均匀），而单作物农田的熵几乎为零。这正是惊奇度被应用在「这属于哪个物种？」上的体现。
• 在机器学习中，自回归语言模型的预训练通常最小化经验性的逐词元交叉熵。困惑度 (perplexity) 是这一平均损失的指数形式，用来衡量模型在指定数据集上的预测拟合程度，但它并不是模型质量的完整度量。指令微调、偏好优化、强化学习、蒸馏和多模态训练都可能使用其他目标。
• 在生物学中，DNA 是一个四字母编码，每碱基携带约 2 比特的信息——遗传在此被视作字面意义上的数字信息存储，这一框架将直接在第 77 日引入中心法则，并在第 87–90 日探寻生命的起源。
• 在物理学中，我们今天所定义的信息熵与热机中的热力学熵被发现——或许——是同一种东西，这也是主线页面所标注的问题，且第 33 日将作为「时间之矢」重新讨论它。
• 在生命本身中，薛定谔关于有机体通过摄入「负熵」（Brillouin 后来称之为 negentropy）来维持生存的思想是信息热力学的雏形——这正是第 83–85 日所围绕的核心谜题，届时今天所学的 $k_{B}T\ln 2$ 将以细胞内部热力学耗散的形式再次出现。

这正是该主题为何在课程中处于目前位置的真实原因，即在 180 天中仅排第七。信息一旦被度量，便会进入能量、演化、涌现和计算等多个领域，因此成为这门课程的五条核心线索之一，也是连接这些主题的重要概念。

01 · 焦点成果

测量活细胞中的不可逆过程

如果要在近期成果中，选出一项在二十年后仍被人们铭记的突破，那很可能是它：2024 年，由巴塞罗那大学费利克斯·里托尔特（Felix Ritort）领衔的团队发表了一项研究，他们利用显微成像、力的校准和模型假设，推断出了活细胞产生熵的速率——这也是单个红细胞内时间之箭的定量表现。

其核心原理是一个名为方差求和规则（Variance Sum Rule）的全新数学恒等式。它将探针涨落统计与作用在它身上的恢复力联系起来，使研究者能在模型条件下估计熵产生率 $\sigma$。无需热量计，也无需复杂的扰动协议——但也不是只靠一台裸显微镜。

他们将这一工具对准人类红细胞，绘制出了横跨细胞膜的熵产生率分布图。其发现令人震惊：$\sigma$ 呈现出明显的「空间非均匀性」，在细胞的不同位置均有不同，其关联长度约为 0.6 微米。其平均值与独立的热量计测量结果高度吻合。作者将其描述为活系统熵产生的第一张热图——这是从定性的「远离平衡」语言迈向空间分辨热力学测量的重要一步。在模型假设下已确立

另外两项相关成果同样值得关注。斯金纳和敦克尔（Skinner & Dunkel，PNAS，2021 年）开发了一套严密的优化框架，用于从部分观测中确定熵产生的界限，并将其应用于研究细菌鞭毛马达与生长中的微管。另一篇 2024 年的 PNAS 论文则使用「深度学习概率流」——即基于得分的生成模型——来估算高维活性物质系统中的熵产生，为解析手段无能为力的高维系统提供了一条计算路径。两项均已确立

02 · 新法则

不确定性、速度与耗散之间的权衡

自 2020 年以来，随机热力学最深刻的概念进展，是一系列揭示了「在特定动力学假设下，高精度常伴随更多熵产生」的理论成果。如果分子马达运行时噪声极低、如果时钟走时节律稳定可靠、如果传感器测量浓度精准无误——背后往往有相应的耗散。这些热力学不确定性关系（TUR）是适用于广泛非平衡系统类别的强约束，但并不是无条件的自然铁律。

总的来说，这些成果正在构建一种类似于「热力学编码」的体系——一套针对指定非平衡过程的约束，就像香农信道容量限制指定通信模型一样。这种类比并非巧合：从事这一领域的学者们认为，香农时代的信息论与 21 世纪的随机热力学，本就是同一门学科的两个不同篇章。

03 · 时钟与耗散

时钟运行中的熵产生

这听起来像是一个显而易见的常识：在许多重要时钟模型和实验中，走时越精准，耗散越高。

由来自牛津、维也纳与兰开斯特等地的联合研究团队——皮尔森、古里亚诺娃、埃尔克、莱尔德、布里格斯、胡伯与阿雷斯（Pearson, Guryanova, Erker, Laird, Briggs, Huber & Ares）——建造了尽可能简单的时钟：一个在低温腔体中振动的纳米级机械薄膜，其振荡通过射频电路读取。通过调节驱动功率，他们将时钟的状态从模糊调整到精确，并同时测量了其准确度与熵产生。他们发现了一个明确的线性关系：准确度翻倍，耗散也随之翻倍。其时钟运行效率与理论极限相比，差距已在同一个数量级之内。已确立

后续的研究进一步深化了这一结论。迈尔、施瓦茨汉斯、埃尔克与胡伯（Meier, Schwarzhans, Erker & Huber，PRL 131, 220201, 2023）表明，在他们的框架中，计时的热力学限制可以拆分为「准确度」（规律性）和「分辨率」（滴答频率），这两者都需要更多熵产生，但作用方式不同。而 2025 年发表在 PRL 上的一篇关于从量子时钟中提取经典滴答信号的论文则指出，主要耗散可能不在于时钟内部维持振荡的过程，而在于「测量」本身——即把微观量子振荡放大为经典信号的过程。由此可见，能耗问题不仅涉及系统是否包含信息，也涉及如何把微观信息转换为可观测的经典信号。

04 · 热力学计算

热力学计算：利用热噪声进行计算

七十年来，工程界应对热噪声的唯一办法就是：压制它。每一个晶体管的设计初衷，都是为了用大出许多倍的清晰电压摆幅来盖过原子的随机抖动。而这部分的摆幅，正是绝大多数能量消耗和热量产生的源头。热力学计算计划则反其道而行之：如果我们不再与噪声为敌，而是直接利用它来进行计算呢？

这个想法出人意料地直接。一个由耦合物理振荡器（如 RLC 电路、电阻网络）组成的系统，若任其自然，就会产生热涨落。这些涨落会自发地对系统能量景观的玻尔兹曼分布进行采样。只要精心设计这个能量景观，这些采样就可以用来求解特定的问题：如线性系统求解、贝叶斯推理、基于能量的生成模型等。在这里，计算不再是违背物理规律的逆行，计算本身就是物理过程。

05 · 麦克斯韦妖的现代研究

多体、量子与自主信息引擎

2010 至 2021 年间的单粒子引擎是令人惊叹的概念验证。近期研发工作主要指向三个方向：规模化、量子化，以及把更多感知与反馈机制内嵌到器件之中。

多体引擎

Chor 等人（2023）将西拉德引擎从单粒子系统扩展到多体胶体悬浮液，利用集体数量涨落来提取有用功。后续的一项工作（arXiv:2512.01942，2025 年 12 月预印本）描述了一种「活塞式信息引擎」，它纯粹通过条件测量从平衡态热浴中收集功——这相当于在群体层面上实现麦克斯韦妖。PRResearch 论文已确立 活塞引擎预印本 · 有前景

量子引擎为量子电池充电

清华大学金奇奂团队的 Zhang 等人（2025）利用单个镱-171 离子构建了一个循环运行的量子信息引擎，通过快速的量子电路中的中途测量（mid-circuit measurement）来抑制测量干扰。每个循环得到的能量被用来为一个量子电池充电。他们报告的信息到最大可用功（ergotropy）的转化效率达到了理论上限的 67%，而信息到功的整体效率达到了 70%。已确立

自主麦克斯韦妖

至少从 Koski 及其同事 2015 年的单电子实验开始，自主麦克斯韦妖就已经被实验展示。在这类系统中，测量和反馈由器件内部实现，而不是由外部定时控制器执行。但这并不意味着器件不使用非平衡资源，也不意味着它不产生熵；完整分析仍必须包含其能量与熵资源。较新的量子点整流器（PRR，2019 年）、随机重置麦克斯韦妖（PRR，2023 年）以及基于晶体管的麦克斯韦妖（PRB，2025 年）则把这种设计模式继续推向纳米尺度能量收集。有前景——单体实现已确立

将真实的分子马达作为麦克斯韦妖

阿马诺、埃斯波西托、克赖特、利、佩诺基奥与罗伯茨（Amano, Esposito, Kreidt, Leigh, Penocchio & Roberts，Nature Chemistry，2022 年）对一个真实的化学驱动合成旋转分子马达进行了严格的信息热力学分析；这类合成分子机器正属于 2016 年诺贝尔化学奖所表彰的研究传统。论文证明，其运转可以分解为一个信息处理循环。原来，麦克斯韦妖一直都只是一个设计得特别精巧的分子。已确立

06 · 量子协同擦除

协同擦除与局部热耗散降低

Buffoni 与 Campisi（Quantum，2023 年）利用量子隧穿效应放大的自发对称性破缺，在 D-Wave Advantage 量子退火器上同时擦除了 256 个量子比特。这一集体翻转实现了接近 $k_{B}T\ln 2$ 的单比特擦除耗散，成功率达 ~99.9%，而单比特作用量（能量 × 时间）低至 $10^{-22}$ erg·s——其速度和能效都极其惊人。其关键在于：协同效应使系统能够集体越过势垒，而不是逐个比特地跨越。已确立

另一个独立的理论项目则探索了辅助系统协助擦除（ancilla-assisted erasure，arXiv:2402.15812，2024 年），即通过引入一个辅助量子系统来转移存储器中的熵，从而在特定的运行状态下，向局部热浴中释放「少于」 $k_{B}T\ln 2$ 的热量。作者强调，这并没有违反第二定律——包括辅助系统在内的总熵依然增加——但局部发热量确实能降到教科书上的经典下限之下。这为超低耗散量子计算的研究指引了方向，而非所谓的免费午餐。有前景——特定机制下适用，预印本

07 · 黑洞信息与时空

孤岛公式与佩奇曲线

量子引力领域悬而未决最久的一个难题便是黑洞信息悖论：被黑洞吞噬的信息，在黑洞蒸发后还能留存下来吗？霍金 1975 年的计算认为信息被彻底毁灭了；而量子理论的幺正演化要求信息不被永久销毁。整整四十五年来，无人能给出一个令人满意的解释。

在 2019–2020 年，一系列研究彻底改变了这一对话。佩宁顿（Penington，JHEP，2020 年），阿尔姆海里、恩格尔哈特、马罗夫与麦克斯菲尔德（Almheiri, Engelhardt, Marolf & Maxfield，JHEP，2019 年），以及阿尔姆海里、哈特曼、马尔达西那、沙古里安与塔吉迪尼（Almheiri, Hartman, Maldacena, Shaghoulian & Tajdini，JHEP，2020 年）发现，如果使用引力路径积分方法中的副本虫洞来计算霍金辐射的熵，计算结果会把黑洞内部被称为孤岛的非连通时空区域的贡献包含在内。当这些「孤岛」开始发挥作用时，辐射的熵就会迎来拐点并开始减少，从而绘制出一条佩奇曲线——这恰恰是在这些受控模型中幺正理论所预测的形状。

孤岛计算是在受控半经典引力模型中的领先理论方案。它们强力支持这些模型中的幺正蒸发；但还不是现实黑洞信息恢复的完整微观解释。

对此最权威的综述是 Almheiri, Hartman, Maldacena, Shaghoulian & Tajdini 所著的《霍金辐射的熵》（“The entropy of Hawking radiation”，Reviews of Modern Physics 93, 035002, 2021 年）。作为模型设定中的理论成果已确立

注意事项：目前「没有任何实验或天文观测的测试」。该计算完全依赖于特定的理论框架，尚不清楚它是否适用于现实中的四维、非 AdS 时空。这一结论在数学上与该领域的其他定理一样坚实，但目前仍缺乏实验或天文观测检验。尚无实验检验

08 · 统一物理图景

是否存在统一的计算物理学？

对此最宏伟的整合尝试，见于沃尔珀特、科贝尔、林、塔斯尼姆、格罗肖、卡尔代什（Wolpert, Korbel, Lynn, Tasnim, Grochow, Kardeş）以及其他 17 位共同作者于 2024 年发表的 PNAS 展望论文：《随机热力学是理解计算能耗的关键吗？》（“Is stochastic thermodynamics the key to understanding the energy costs of computation?”）。他们的论点是：计算热力学不仅仅关于兰道尔极限——那仅仅是一个最低底线。在其之上，还包含着由失配开销、通信耗散和非平衡约束所组成的丰富体系，它们共同构成了如同香农通信理论一样严密的「计算物理学完整框架」。

这篇展望文章给出的一项比较足以令人震撼：按照某些「每次操作」的定义，生物分子机器的能效可能比部分人造计算系统高约 10⁵ 倍。请把它当作依赖定义的示意性差距，而不是普适常数。主页的兰道尔阶梯图显示，芯片的运行功耗远高于热力学极限底线；更深层的要点是，生物系统经常更靠近物理噪声和耗散边界，而探究其背后的实现机制，正是当前一个根本性的未解问题。框架已确立，比例为示意